Dans le cas où $E$ est de dimension finie, la signature de $Q$ permet de conclure immédiatement. Supposons donc que $E$ n’est pas de dimension fine.

Par hypothèse, il existe un vecteur non nul $x_0$ tel que $Q(x_0) = 0$ . Supposons $Q$ de signe constant. Ouite à remplacer $Q$ par $-Q$ , on supposera que $Q$ est positive. D?après l’inégalité de Cauchy-Schwarz (valable pour les formes quadratiques positives)

$\forall y\in E,\;|\varphi(x_0,y)|\leqslant \sqrt{Q(x_0)}\sqrt{Q(y)}= 0$ .

Donc $\forall y\in E,\;\varphi(x_0,y) = 0$ et $x_0$ est dans le noyau de $\varphi$ . Puisque $x_0\neq0$ , on en déduit que $\varphi$ est dégénérée. En résumé, si $Q$ est de signe constant, $\varphi$ est dégénérée ou encore si $\varphi$ est non dégénérée, $Q$ n’est pas de signe constant.

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