Soit \(\begin{array}[t]{cccc}f~:&E&\rightarrow&\Kk^n\\ &x&\mapsto&(\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)) \end{array}\). Il s’agit de démontrer que la famille \((\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\) est liée si et seulement si \(\text{Ker}(f)\neq\{0\}\).

Si la famille \((\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\) est libre, c’est une base de \(E^*\) (car \(\text{dim}(E^*)=n\)). Notons \((u_1,\ldots,u_n)\) sa préduale et notons \((e_1,\ldots,e_n)\) la base canonique de \(\Kk^n\). Pour \(1\leqslant i\leqslant n\), on a \(f(u_i)=e_i\). Ainsi, l’image par \(f\) d’une base de \(E\) est une base de \(\Kk^n\) et on sait alors que \(f\) est un isomorphisme. En particulier, \(\text{Ker}(f)=\{0\}\).

Si les \(\varphi_i\) sont tous nuls, tout vecteur non nul \(x\) annule chaque \(\varphi_i\). Supposons alors que la famille \((\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\) est liée et que les \(\varphi_i\) ne sont pas tous nuls. On extrait de la famille \((\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\) une base \(\left(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_m}\right)\) (avec \(1\leqslant m<n\)) de \(\text{Vect}(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\). On complète la famille libre \(\left(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_m}\right)\) en une base \(\left(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_m},\psi_1,\ldots,\psi_{n-m}\right)\) de \(E^*\). On note \((e_1,\ldots,e_m,e_{m+1},\ldots,e_n)\) sa préduale. Les formes linéaires \(\varphi_{i_1}\),…, \(\varphi_{i_m}\) s’annulent toutes en \(e_n\) et donc chaque \(\varphi_i\) s’annule en \(e_n\) puisque chaque \(\varphi_i\) est combinaison linéaire des \(\varphi_{i_k}\), \(1\leqslant i\leqslant m\). Le vecteur \(e_n\) est donc un vecteur non nul \(x\) tel que \(\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(\varphi_i(x)=0\).

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