Soit $\begin{array}{cccc}f~:&E&\rightarrow&\Kk^n\\ &x&\mapsto&(\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)) \end{array}$ . Il s’agit de démontrer que la famille $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ est liée si et seulement si $\text{Ker}(f)\neq\{0\}$ .

Si la famille $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ est libre, c’est une base de $E^*$ (car $\text{dim}(E^*)=n$ ). Notons $(u_1,\ldots,u_n)$ sa préduale et notons $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de $\Kk^n$ . Pour $1\leqslant i\leqslant n$ , on a $f(u_i)=e_i$ . Ainsi, l’image par $f$ d’une base de $E$ est une base de $\Kk^n$ et on sait alors que $f$ est un isomorphisme. En particulier, $\text{Ker}(f)=\{0\}$ .

Si les $\varphi_i$ sont tous nuls, tout vecteur non nul $x$ annule chaque $\varphi_i$ . Supposons alors que la famille $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ est liée et que les $\varphi_i$ ne sont pas tous nuls. On extrait de la famille $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ une base $\left(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_m}\right)$ (avec $1\leqslant m<n$ ) de $\text{Vect}(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ . On complète la famille libre $\left(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_m}\right)$ en une base $\left(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_m},\psi_1,\ldots,\psi_{n-m}\right)$ de $E^*$ . On note $(e_1,\ldots,e_m,e_{m+1},\ldots,e_n)$ sa préduale. Les formes linéaires $\varphi_{i_1}$ ,…, $\varphi_{i_m}$ s’annulent toutes en $e_n$ et donc chaque $\varphi_i$ s’annule en $e_n$ puisque chaque $\varphi_i$ est combinaison linéaire des $\varphi_{i_k}$ , $1\leqslant i\leqslant m$ . Le vecteur $e_n$ est donc un vecteur non nul $x$ tel que $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $\varphi_i(x)=0$ .

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