Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur \(E\).
1
Si \(u\in\mathcal{L}(E)\) montrer qu’il existe un unique endomorphisme \(v\in\mathcal{L}(E)\) tel que : \[\forall\ x,y\in\ E,\ f(u(x),y) = f(x,v(y)).\] On note \(v=u^*\).
2
Montrer que l’application \(u \mapsto u^*\) est un anti-isomorphisme involutif de l’algèbre \(\mathcal{L}(E)\) (c’est-à-dire un isomorphisme linéaire tel que \((u\circ v)^* = v^*\circ u^*\) et \(u^{**}=u\)).