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Si $u\in\mathcal{L}(E)$ montrer qu’il existe un unique endomorphisme $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que : $$\forall\ x,y\in\ E,\ f(u(x),y) = f(x,v(y)).$$ On note $v=u^*$.

Montrer que l’application $u \mapsto u^*$ est un anti-isomorphisme involutif de l’algèbre $\mathcal{L}(E)$ (c’est-à-dire un isomorphisme linéaire tel que $(u\circ v)^* = v^*\circ u^*$ et $u^{**}=u$).