On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues sur \([0,1]\) et vérifiant \({f(0)=f(1)=0}\). Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions de \(P\), on note \((f\mid g) = \int_{t=0}^1f'(t)g'(t)\,d t\).
1
Que dire de \(P\) muni de cette application ?
2
Montrer que si \(x\in{[0,1]}\), il existe \(g_x\in P\) telle que \(\forall\ f\in P,\ (g_x\mid f) = f(x)\).
3
On considère \(n\) réels vérifiant : \(0<x_1<x_2<\dots<x_n<1\) et on donne \(n\) réels \((\alpha_i)_{i\in{[[1,n]]}}\). On pose \(\varphi(f) = \|f\|^2 + \sum_{i=1}^n (f(x_i)-\alpha_i)^2\) et on demande de trouver le minimum de \(\varphi\) sur \(P\).