L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

exo7 3682

Soit EE = R[X]\R[X]. On pose (P∣Q)=∫t=01P(t)Q(t) dt(P \mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t

1

Démontrer que ( ∣ )(\ \mid\ ) est un produit scalaire sur EE.

2

Démontrer qu’il existe une unique famille (P0,P1,…,Pn,… )(P_0, P_1, \dots, P_n,\dots ) de polynômes vérifiant : {deg⁡Pi=ile coefficient dominant de Pi est strictement positifla famille (Pi) est orthonormeˊe.\begin{cases}\deg P_i = i\cr \text{le coefficient dominant de $P_i$ est strictement positif}\cr \text{la famille $(P_i)$ est orthonormée.}\cr \end{cases}

Exercice zhLh

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