Soit \(E\) = \(\R[X]\). On pose \((P \mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\)
1
Démontrer que \((\ \mid\ )\) est un produit scalaire sur \(E\).
2
Démontrer qu’il existe une unique famille \((P_0, P_1, \dots, P_n,\dots )\) de polynômes vérifiant : \[\begin{cases}\deg P_i = i\cr \text{le coefficient dominant de $P_i$ est strictement positif}\cr \text{la famille $(P_i)$ est orthonormée.}\cr \end{cases}\]