Posons \(\varphi~:~(A,B)\mapsto\mbox{Tr}({^t}AB)\). Montrons que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\). 1ère solution. \(\varphi\) est symétrique. En effet, pour \((A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2\),

\[\varphi(A,B)=\mbox{Tr}(^{t}AB)=\mbox{Tr}({^t}({^t}AB))=\mbox{Tr}({^t}BA)=\varphi(B,A).\]

\(\varphi\) est bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition. Si \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus\{0\}\), alors

\[\varphi(A,A)=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}a_{i,j}\right)=\sum_{i,j}^{}a_{i,j}^2>0\] car au moins un des réels de cette somme est strictement positif. \(\varphi\) est donc définie, positive.

2ème solution. Posons \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\). On a

\(\text{Tr}({^t}AB)=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}b_{i,j}\right)=\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}a_{i,j}b_{i,j}\).

Ainsi, \(\varphi\) est le produit scalaire canonique sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) et en particulier, \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\). \(N\) n’est autre que la norme associée au produit scalaire \(\varphi\) (et en particulier, \(N\) est une norme). Soit \((A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2\).

\[\begin{align*}\ensuremath N(AB)^2&=\sum_{i,j}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right)^2\\ &\leq\sum_{i,j}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{l=1}^{n}b_{l,j}^2\right)\;(\mbox{d'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\sum_{i,j,k,l}^{}a_{i,k}^2b_{l,j}^2=\left(\sum_{i,k}^{}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{l,j}^{}b_{l,j}^2\right)=N(A)^2N(B)^2, \end{align*}\] et donc,

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