Posons $\varphi~:~(A,B)\mapsto\mbox{Tr}({^t}AB)$ . Montrons que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ . 1ère solution. $\varphi$ est symétrique. En effet, pour $(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2$ ,

$\varphi(A,B)=\mbox{Tr}(^{t}AB)=\mbox{Tr}({^t}({^t}AB))=\mbox{Tr}({^t}BA)=\varphi(B,A).$

$\varphi$ est bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition. Si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus\{0\}$ , alors

$\varphi(A,A)=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}a_{i,j}\right)=\sum_{i,j}^{}a_{i,j}^2>0$ car au moins un des réels de cette somme est strictement positif. $\varphi$ est donc définie, positive.

2ème solution. Posons $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$ . On a

$\text{Tr}({^t}AB)=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}b_{i,j}\right)=\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}a_{i,j}b_{i,j}$ .

Ainsi, $\varphi$ est le produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ et en particulier, $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ . $N$ n’est autre que la norme associée au produit scalaire $\varphi$ (et en particulier, $N$ est une norme). Soit $(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2$ .

$\begin{align*}\ensuremath N(AB)^2&=\sum_{i,j}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right)^2\\ &\leq\sum_{i,j}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{l=1}^{n}b_{l,j}^2\right)\;(\mbox{d'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\sum_{i,j,k,l}^{}a_{i,k}^2b_{l,j}^2=\left(\sum_{i,k}^{}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{l,j}^{}b_{l,j}^2\right)=N(A)^2N(B)^2, \end{align*}$ et donc,

$\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2,\;N(AB)\leq N(A)N(B)$ .

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