Soit $A =(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une matrice orthogonale. On pose $X =\left( \begin{array}{c} 1\\ \vdots\\ 1 \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ .

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz

$\begin{align*}\ensuremath \left|\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,j}\right|&=\left|\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}1\times a_{i,j}\times1\right|=\left|{^t}XAX\right| =\left|\left(AX|X\right)\right|\\ &\leqslant\|AX\|\|X\|\;(\text{d'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\|X\|^2\;(\text{puisque la matrice}\;A\;\text{est orthogonale})\\ &=n. \end{align*}$

On a l’égalité si et seulement si la famille $(X,AX)$ est liée ce qui équivaut à $X$ vecteur propre de $A$ .

On sait que les valeurs propres (réelles) de $A$ ne peuvent être que $1$ ou $-1$ . Donc,

égalité $\Leftrightarrow AX = X\;\text{ou}\;AX = -X\Leftrightarrow \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\right|= 1$

Il paraît difficile d’améliorer ce résultat dans le cas général. Supposons de plus que $\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ , $a_{i,j}\geqslant 0$ . Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ . Puisque tous les $a_{i,j}$ sont éléments de $[0,1]$ ,

$1=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\geqslant\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2=1$ .

L’inégalité écrite est donc une égalité et on en déduit que chaque inégalité $a_{i,j}\geqslant a_{i,j}^2$ , $1\leqslant j\leqslant n$ , est une égalité. Par suite, $\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ , $a_{i,j}\in\{0,1\}$ . Ceci montre que la matrice $A$ est une matrice de permutation qui réciproquement convient.

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