Soit \(A =(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) une matrice orthogonale. On pose \(X =\left( \begin{array}{c} 1\\ \vdots\\ 1 \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\).

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,j}\right|&=\left|\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}1\times a_{i,j}\times1\right|=\left|{^t}XAX\right| =\left|\left(AX|X\right)\right|\\ &\leqslant\|AX\|\|X\|\;(\text{d'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\|X\|^2\;(\text{puisque la matrice}\;A\;\text{est orthogonale})\\ &=n. \end{align*}\]

On a l’égalité si et seulement si la famille \((X,AX)\) est liée ce qui équivaut à \(X\) vecteur propre de \(A\).

On sait que les valeurs propres (réelles) de \(A\) ne peuvent être que \(1\) ou \(-1\). Donc,

égalité \(\Leftrightarrow AX = X\;\text{ou}\;AX = -X\Leftrightarrow \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\right|= 1\)

Il paraît difficile d’améliorer ce résultat dans le cas général. Supposons de plus que \(\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), \(a_{i,j}\geqslant 0\). Soit \(i\in\llbracket1,n\rrbracket\). Puisque tous les \(a_{i,j}\) sont éléments de \([0,1]\),

\(1=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\geqslant\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2=1\).

L’inégalité écrite est donc une égalité et on en déduit que chaque inégalité \(a_{i,j}\geqslant a_{i,j}^2\), \(1\leqslant j\leqslant n\), est une égalité. Par suite, \(\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), \(a_{i,j}\in\{0,1\}\). Ceci montre que la matrice \(A\) est une matrice de permutation qui réciproquement convient.

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