Soit $(E_{ij})$ la base canonique de $\mathcal{M}_2(\C)$ : $E_{12}^2=0$ donc $q(E_{12}) = 0$ et si $A$ est une matrice quelconque de rang $1$ , $A$ est équivalente à $E_{12}$ d’où $q(A) = 0$ . Si $A=0$ on a aussi $q(A)=0$ et si $A$ est inversible alors toute matrice est multiple de $A$ donc $q(A)\ne 0$ , en particulier $q(I)=1$ car $q^2(I)=q(I)$ . On en déduit $q(A) = 0 \Leftrightarrow\det(A)=0$ .

Pour $A$ quelconque, les applications : $z \mapsto\det(A-zI)$ et $z \mapsto q(A-zI)$ sont polynomiales de degré $2$ , avec le même coefficient de $z^2$ et les mêmes racines, donc sont égales d’où $q=\det$ .

Remarque : le même raisonnement est applicable sur un corps quelconque en se limitant aux matrices triangulaires, et toute matrice est produit de triangulaires (algorithme du pivot de Gauss).

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