Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel normé.
On suppose que la norme de \(E\) vérifie la relation \[\begin{equation} \label{eq} \forall x,y\in E, \qquad 2\bigl(\|x\|^2 +\|y\|^2\bigr) =\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2. \end{equation}\] On définit \(p : E\times E \to \R\) par \[p(x,y) = \frac 1 2 \bigl(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 -\|y\|^2\bigr).\] Montrer que \(p\) est un produit scalaire sur \(E\).
Réciproquement, si \(E\) est un espace euclidien dont le produit scalaire est noté \(\langle x,y \rangle\), montrer que la norme euclidienne (définie par \(\|x\| =\sqrt{\langle x,x \rangle}\)) vérifie ([eq]), et que \(\langle x,y \rangle=p(x,y)\).
Dans le cas où \(E=\R^n\), pour quelles valeurs de \(q\geq 1\) les normes \(\|\cdot\|_q\) vérifient-elles ([eq]) ?