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On suppose que la norme de $E$ vérifie la relation $$\begin{equation} \label{eq} \forall x,y\in E, \qquad 2\bigl(\|x\|^2 +\|y\|^2\bigr) =\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2. \end{equation}$$ On définit $p : E\times E \to \R$ par $$p(x,y) = \frac 1 2 \bigl(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 -\|y\|^2\bigr).$$ Montrer que $p$ est un produit scalaire sur $E$.

Réciproquement, si $E$ est un espace euclidien dont le produit scalaire est noté $\langle x,y \rangle$, montrer que la norme euclidienne (définie par $\|x\| =\sqrt{\langle x,x \rangle}$) vérifie ([eq]), et que $\langle x,y \rangle=p(x,y)$.

Dans le cas où $E=\R^n$, pour quelles valeurs de $q\geq 1$ les normes $\|\cdot\|_q$ vérifient-elles ([eq]) ?