Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :
1
\(E = \R^2\), \((x,x') \mid (y,y') = axy + bxy' + cx'y + dx'y'\) (étudier \((1,t) \mid (1,t),\ t \in \R\)).
2
\(E = \R^n\), \((x_1,\dots,x_n) \mid (y_1,\dots,y_n) = a\sum\limits_i x_iy_i + b\sum\limits_{i\ne j} x_iy_j\) \(\Bigl(\)On montrera que \(\left(\sum x_i\right)^2 \le n\sum x_i^2\Bigr)\).
3
\(E = \R_n[X]\), \((P \mid Q) = \sum_{i=0}^{n} P(i)Q(i)\).