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En considérant l’endomorphisme $f^*\circ f$, montrer que si $f$ est inversible alors $f$ se décompose de manière unique sous la forme $f = u\circ h$ avec $u$ unitaire et $h$ hermitien positif.

Si $f$ est non inversible, montrer qu’une telle décomposition existe mais n’est pas unique (on rappelle que $U(E)$ est compact).

Montrer que l’application $f \mapsto (u,h)$ est continue sur $GL(E)$.