Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\).
1
En considérant l’endomorphisme \(f^*\circ f\), montrer que si \(f\) est inversible alors \(f\) se décompose de manière unique sous la forme \(f = u\circ h\) avec \(u\) unitaire et \(h\) hermitien positif.
2
Si \(f\) est non inversible, montrer qu’une telle décomposition existe mais n’est pas unique (on rappelle que \(U(E)\) est compact).
3
Montrer que l’application \(f \mapsto (u,h)\) est continue sur \(GL(E)\).