1
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour \(a\in\Cc\), on définit l’application \(\varphi_a\) par : \(\forall P\in E,\;\varphi_a(P)=P(a)\). Montrer que pour tout \(a\in E\), \(\varphi_a\in E^*\).
2
Soient \(a_0\), \(a_1\),…, \(a_n\) \(n+1\) nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille \(\left(\varphi_{a_0},\ldots,\varphi_{a_n}\right)\) est une base de \(E^*\) et déterminer sa préduale.
3
Montrer qu’il existe \((\lambda_0,\ldots,\lambda_n)\in\Cc^{n+1}\) tel que \(\forall P\in\Cc_n[X],\;\int_{0}^{1}P(t)\;dt=\lambda_0P(a_0)+\ldots+\lambda_nP(a_n)\) puis donner la valeur des \(\lambda_i\) sous la forme d’une intégrale.