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Soient $n\in\Nn^*$ et $E=\Cc_n[X]$. Pour $a\in\Cc$, on définit l’application $\varphi_a$ par : $\forall P\in E,\;\varphi_a(P)=P(a)$. Montrer que pour tout $a\in E$, $\varphi_a\in E^*$.

Soient $a_0$, $a_1$,…, $a_n$ $n+1$ nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille $\left(\varphi_{a_0},\ldots,\varphi_{a_n}\right)$ est une base de $E^*$ et déterminer sa préduale.

Montrer qu’il existe $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)\in\Cc^{n+1}$ tel que $\forall P\in\Cc_n[X],\;\int_{0}^{1}P(t)\;dt=\lambda_0P(a_0)+\ldots+\lambda_nP(a_n)$ puis donner la valeur des $\lambda_i$ sous la forme d’une intégrale.