Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien. On pose pour \(\vec x \ne \vec 0\) : \(i(\vec x) = \frac{\vec x}{\|\vec x\,\|^2}\).
1
Montrer que \(i\) est une involution et conserve les angles de vecteurs.
2
Vérifier que : \(\forall\ \vec x,\vec y \in E \setminus\{\vec 0\}\), \(\|i(\vec x) - i(\vec y)\| = \frac{\|\vec x - \vec y\,\|}{\|\vec x\,\|\,\|\vec y\,\|}\).
3
Déterminer l’image par \(i\) :
4
d’un hyperplan affine ne passant pas par \(\vec 0\).
5
d’une sphère passant par \(\vec 0\).
6
d’une sphère ne passant pas par \(\vec 0\).