Soit \(E\) un espace vectoriel hermitien. Un endomorphisme \(u\in\mathcal{L}(E)\) est dit normal si \(u\) et \(u^*\) commutent.
1
Soit \(u\) normal, montrer que si \(F\) est un sous-espace propre de \(u\) alors \(F^\perp\) est stable par \(u\). En déduire que \(u\) est diagonalisable en base orthonormale. La réciproque est-elle vraie ?
2
Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\). Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :
(1) \(u\) est normal. (2) \(\forall\ x\in E, \|u(x)\|=\|u^*(x)\|\). (3) Tout sous-espace vectoriel stable par \(u\) est stable par \(u^*\). (4) Si un sous-espace vectoriel \(F\) est stable par \(u\) alors \(F^\perp\) est stable par \(u\). (5) Il existe \(P\in\C[X]\) tel que \(u^* = P(u)\).