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Soit $u$ normal, montrer que si $F$ est un sous-espace propre de $u$ alors $F^\perp$ est stable par $u$. En déduire que $u$ est diagonalisable en base orthonormale. La réciproque est-elle vraie ?

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :

(1) $u$ est normal. (2) $\forall\ x\in E, \|u(x)\|=\|u^*(x)\|$. (3) Tout sous-espace vectoriel stable par $u$ est stable par $u^*$. (4) Si un sous-espace vectoriel $F$ est stable par $u$ alors $F^\perp$ est stable par $u$. (5) Il existe $P\in\C[X]$ tel que $u^* = P(u)$.