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Soit $E = \R_n[x]$ . On pose pour $P,Q \in E : {<P,Q>} = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,d t$ et on considère $u : E \to {\R[x]}, {P(x)} \mapsto {2xP'(x) + (x^2-1)P''(x).}$

Montrer que l’on définit un produit scalaire et que $u$ est un endomorphisme.

Montrer que $u$ est diagonalisable et que si $P_k,P_\ell$ sont des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, alors ${{<}P_k,P_\ell{>=} 0}$ .