Soit \(E = \R_n[x]\). On pose pour \(P,Q \in E : {<P,Q>} = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,d t\) et on considère \[u : E \to {\R[x]}, {P(x)} \mapsto {2xP'(x) + (x^2-1)P''(x).}\]
1
Montrer que l’on définit un produit scalaire et que \(u\) est un endomorphisme.
2
Montrer que \(u\) est diagonalisable et que si \(P_k,P_\ell\) sont des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, alors \({{<}P_k,P_\ell{>=} 0}\).
3
Éléments propres de \(u\) pour \(n=3\) ?