Posons \(X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)\) et \(A =\left(\begin{array}{cccc} 0&x_1&\ldots&x_n\\ x_1& & & \\ \vdots& &S& \\ x_n& & & \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}X\\ X&S \end{array}\right)\).

Un calcul par blocs fournit \(\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}X\\ X&S \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&S^{-1} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}XS^{-1}\\ X&I_n \end{array}\right)\) puis

\(\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}X\\ X&S \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&S^{-1} \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} -1&0\\ X&I_n \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}XS^{-1}\\ X&I_n \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} -1&0\\ X&I_n \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} {^t}XS^{-1}X&{^t}XS^{-1}\\ 0&I_n \end{array}\right)\).

On en déduit que \(\text{det}(A)\times\text{det}(S^{-1})\times(-1)={^t}XS^{-1}X\) puis que \(Q(X)=-\text{det}(A)={^t}X((\text{det}(S))S^{-1})X ={^t}XS'X\) où \(S'=(\text{det}(S))S^{-1}\).

Maintenant, la matrice \(S\) est définie positive et donc ses valeurs propres sont des réels strictement positifs. Les valeurs propres de la matrice \(S'\) sont les \(\frac{\text{det}(S)}{\lambda}\) où \(\lambda\) décrit le spectre de \(S\) et donc la matrice \(S'\) est aussi une matrice symétrique définie positive. \(Q\) est donc une forme quadratique définie positive.

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