Posons $X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)$ et $A =\left(\begin{array}{cccc} 0&x_1&\ldots&x_n\\ x_1& & & \\ \vdots& &S& \\ x_n& & & \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}X\\ X&S \end{array}\right)$ .

Un calcul par blocs fournit $\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}X\\ X&S \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&S^{-1} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}XS^{-1}\\ X&I_n \end{array}\right)$ puis

$\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}X\\ X&S \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&S^{-1} \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} -1&0\\ X&I_n \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 0&{^t}XS^{-1}\\ X&I_n \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} -1&0\\ X&I_n \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} {^t}XS^{-1}X&{^t}XS^{-1}\\ 0&I_n \end{array}\right)$ .

On en déduit que $\text{det}(A)\times\text{det}(S^{-1})\times(-1)={^t}XS^{-1}X$ puis que $Q(X)=-\text{det}(A)={^t}X((\text{det}(S))S^{-1})X ={^t}XS'X$ où $S'=(\text{det}(S))S^{-1}$ .

Maintenant, la matrice $S$ est définie positive et donc ses valeurs propres sont des réels strictement positifs. Les valeurs propres de la matrice $S'$ sont les $\frac{\text{det}(S)}{\lambda}$ où $\lambda$ décrit le spectre de $S$ et donc la matrice $S'$ est aussi une matrice symétrique définie positive. $Q$ est donc une forme quadratique définie positive.

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