\(f\) linéaire et \(f = x \mapsto\|x\|^2\) conviennent et l’ensemble \(\cal E\) des fonctions \(f\) vérifiant la propriété est stable par combinaison linéaire donc toute fonction de la forme \(x \mapsto\ell(x) + a\|x\|^2\) avec \(\ell\in E^*\) et \(a\in\R\) convient. On montre que ce sont les seules : Soit \(f\in{\cal E}\) l’on décompose en sa partie paire \(f_p\) et sa partie impaire \(f_i\). Alors \(f_p,f_i\in{\cal E}\).

Soient \(x,y\in E\) avec \(\|x\|=\|y\|\) et \(x\perp y\). On a \(f_i(x\pm y) = f_i(x)\pm f_i(y)\) et \(f_i(2x) = f_i(x+y) + f_i(x-y) = 2f_i(x)\). Ensuite, \(f_i(2x) + f_i(x) -f_i(y) = f_i(2x+y) + f_i(x-2y) = f_i(3x-y) = f_i(3x) - f_i(y)\) d’où \(f_i(3x) = 3f_i(x)\) et de proche en proche \(f_i(kx) = kf_i(x)\) pour \(k\in\N\) puis pour \(k\in\Z,\Q,\R\) successivement vu la continuité de \(f\). En prenant une base \((e_1,\dots,e_n)\) orthonormale on a \(f(x_1e_1+\dots+x_ne_n) = x_1f(e_1)+\dots+x_nf(e_n)\) pour tous \(x_1,\dots,x_n\) réels donc \(f_i\) est linéaire.

Soient à présent \(x,y\in E\) avec \(\|x\|=\|y\|\) alors \(f_p(x+y) + f_p(x-y) = f(2x)\) et \(f_p(x+y) + f_p(y-x) = f_p(2y)\) d’où \(f_p(2x) = f_p(2y)\). Ainsi \(f_p\) est constante sur les sphères de centre \(0\). On écrit \(f_p(x) = \varphi(\|x\|^2)\) avec \(\varphi : {\R^+} \to \R\) prolongée à \(\R\) par imparité (\(f_p(0) = 0\) de manière évidente) et on a \(\varphi(a^2+b^2) = f_p(ae_1+be_2) = f_p(ae_1)+f_p(be_2) = \varphi(a^2)+\varphi(b^2)\) d’où l’on conclut que \(\varphi\) est linéaire.

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