L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 4 questions

exo7 5773

Soit E=R[X]E=\Rr[X]. Pour (P,Q)∈E2(P,Q)\in E^2, on pose φ(P,Q)=∫0+∞P(t)Q(t)e−t  dt\varphi(P,Q)=\int_{0}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\;dt. Pour n∈Nn\in\Nn, on pose hn=(Xne−X)(n)eXh_n=(X^ne^{-X})^{(n)}e^X.

1

Montrer que φ\varphi est un produit scalaire sur EE.

2

Pour n∈Nn\in\Nn, préciser les coefficients de hnh_n. Montrer que la famille (hn)n∈N(h_n)_{n\in\Nn} est une base de EE.

3

Montrer que la famille (hn)n∈N(h_n)_{n\in\Nn} est une base orthogonale de l’espace préhilbertien (E,φ)(E,\varphi).

4

Pour n∈Nn\in\Nn, déterminer ∥hn∥\|h_n\|. En déduire une base orthonormée de l’espace préhilbertien (E,φ)(E,\varphi).

Exercice 2Ts4

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