Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose \(\varphi(P,Q)=\int_{0}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\;dt\). Pour \(n\in\Nn\), on pose \(h_n=(X^ne^{-X})^{(n)}e^X\).
1
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).
2
Pour \(n\in\Nn\), préciser les coefficients de \(h_n\). Montrer que la famille \((h_n)_{n\in\Nn}\) est une base de \(E\).
3
Montrer que la famille \((h_n)_{n\in\Nn}\) est une base orthogonale de l’espace préhilbertien \((E,\varphi)\).
4
Pour \(n\in\Nn\), déterminer \(\|h_n\|\). En déduire une base orthonormée de l’espace préhilbertien \((E,\varphi)\).