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Pour $\vec x \in E\setminus\{\vec 0\}$, on pose $f(\vec x) = \frac{\vec x}{\|\vec x\,\|^2}$. Montrer que : $\forall\ \vec x,\vec y \in E \setminus\{\vec 0\}$, $\|f(\vec x) - f(\vec y)\| = \frac{\|\vec x - \vec y\,\|}{\|\vec x\,\|\,\|\vec y\,\|}$.

Soient $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d \in E$. Montrer que $\|\vec a-\vec c\,\|\,\|\vec b-\vec d\,\| \le \|\vec a-\vec b\,\|\,\|\vec c-\vec d\,\| + \|\vec b-\vec c\,\|\,\|\vec a-\vec d\,\|$.

Indication : se ramener au cas $\vec a = \vec 0$ et utiliser l’application $f$.