Soit \(E\) un espace euclidien.
1
Pour \(\vec x \in E\setminus\{\vec 0\}\), on pose \(f(\vec x) = \frac{\vec x}{\|\vec x\,\|^2}\). Montrer que : \(\forall\ \vec x,\vec y \in E \setminus\{\vec 0\}\), \(\|f(\vec x) - f(\vec y)\| = \frac{\|\vec x - \vec y\,\|}{\|\vec x\,\|\,\|\vec y\,\|}\).
2
Soient \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d \in E\). Montrer que \(\|\vec a-\vec c\,\|\,\|\vec b-\vec d\,\| \le \|\vec a-\vec b\,\|\,\|\vec c-\vec d\,\| + \|\vec b-\vec c\,\|\,\|\vec a-\vec d\,\|\).
Indication : se ramener au cas \(\vec a = \vec 0\) et utiliser l’application \(f\).