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Montrer que \[\forall(x_{1},...,x_{n})\in\R^{n},\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\leq \sqrt{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.\] Etudier le cas d’égalité.
Soit \(f\) et \(g\) deux applications continues de \([0,1]\) dans \(\R\). Montrer que : \[\forall (f,g)\in C^{0}([0,1],\R)\qquad \left(\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt\right)^{2} \leq \int_{0}^{1}f^{2}(t)dt\int_{0}^{1}g^{2}(t)dt.\] Etudier le cas d’égalité.
Soit \(f\) une application continue d’un intervalle \([a,b]\) dans \(\R\). Montrer que : \[\forall f\in C^{0}([a,b],\R)\qquad \left(\int_{a}^{b}f(t)dt\right)^{2} \leq (b-a)\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt.\] Etudier le cas d’égalité.