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Montrer que $$\forall(x_{1},...,x_{n})\in\R^{n},\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\leq \sqrt{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.$$ Etudier le cas d’égalité.

Soit $f$ et $g$ deux applications continues de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que : $$\forall (f,g)\in C^{0}([0,1],\R)\qquad \left(\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt\right)^{2} \leq \int_{0}^{1}f^{2}(t)dt\int_{0}^{1}g^{2}(t)dt.$$ Etudier le cas d’égalité.

Soit $f$ une application continue d’un intervalle $[a,b]$ dans $\R$. Montrer que : $$\forall f\in C^{0}([a,b],\R)\qquad \left(\int_{a}^{b}f(t)dt\right)^{2} \leq (b-a)\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt.$$ Etudier le cas d’égalité.