L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 1481

Soit (E,⟨,⟩)(E , \langle , \rangle ) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 2.2 . Soient xx et y∈E.y \in E . Montrer que :

1

Si ∥x∥=∥y∥,\Vert x\Vert = \Vert y\Vert , alors il existe un hyperplan HH de EE tel que y=s(x)y = s(x) où ss est la symétrie orthogonale par rapport à H.H .

2

Si ⟨x,y⟩=∥y∥2,\langle x, y\rangle = \Vert y\Vert ^2 , alors il existe un hyperplan HH de EE tel que y=p(x)y = p(x) où pp est la projection orthogonale sur H.H .

Exercice PqEv

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