Quitte à remplacer \(E\) par \(\mathrm{vect}(x_1,\dots,y_n)\), on peut supposer \(E\) de dimension finie \(p\). Soit \(\cal B\) une base de \(E\), et \(X,Y\) et \(F\) les matrices de \((x_1,\dots,x_n)\), \((y_1,\dots,y_n)\) et \(\phi\) dans \(\cal B\). On doit prouver \(\det({}^tXFY)^2 \le \det({}^tXFX)\det({}^tYFY)\). Comme \(F\) est symétrique positive, elle est de la forme \(F={}^tMM\) pour une certaine matrice carrée \(M\), donc en remplaçant \(X\) et \(Y\) par \(MX\) et \(MY\), il suffit de prouver \(\det({}^tXY)^2 \le \det({}^tXX)\det({}^tYY)\) pour toutes matrices \(X,Y\) réelles rectangulaires de même taille.

En projetant chaque colonne de \(Y\) sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de \(X\), on peut décomposer \(Y = XA + B\) où \(A\) est une matrice carrée et \(B\) une matrice rectangulaire de même taille que \(X\) telle que \({}^tXB = 0\). Il reste à prouver: \(\det({}^tXXA)^2 \le \det({}^tXX)\det({}^tA{}^tXXA+{}^tBB)\), soit: \(\det({}^tA{}^tXXA) \le \det({}^tA{}^tXXA+{}^tBB)\).

On pose \(U={}^tA{}^tXXA\) et \(V = {}^tBB\): \(U\) et \(V\) sont des matrices réelles symétriques positives de même taille, à priori quelquonques. Si \(U\) est inversible, on écrit \(U={}^tPP\) avec \(P\) inversible et on est rammené à prouver que \(1\le\det(I+{}^tP^{-1}VP^{-1}) = \det(I+W)\), avec \(W\) symétrique positive, ce qui résulte du fait que toutes les valeurs propres de \(I+W\) sont supérieures ou égales à \(1\). Si \(U\) n’est pas inversible, on remplace \(U\) par \(U+\varepsilon I\) avec \(\varepsilon >0\), puis on fait tendre \(\varepsilon\) vers \(0^+\).

Remarque: il y a peut-être plus simple?

exo7 3732