Quitte à remplacer $E$ par $\mathrm{vect}(x_1,\dots,y_n)$ , on peut supposer $E$ de dimension finie $p$ . Soit $\cal B$ une base de $E$ , et $X,Y$ et $F$ les matrices de $(x_1,\dots,x_n)$ , $(y_1,\dots,y_n)$ et $\phi$ dans $\cal B$ . On doit prouver $\det({}^tXFY)^2 \le \det({}^tXFX)\det({}^tYFY)$ . Comme $F$ est symétrique positive, elle est de la forme $F={}^tMM$ pour une certaine matrice carrée $M$ , donc en remplaçant $X$ et $Y$ par $MX$ et $MY$ , il suffit de prouver $\det({}^tXY)^2 \le \det({}^tXX)\det({}^tYY)$ pour toutes matrices $X,Y$ réelles rectangulaires de même taille.

En projetant chaque colonne de $Y$ sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de $X$ , on peut décomposer $Y = XA + B$ où $A$ est une matrice carrée et $B$ une matrice rectangulaire de même taille que $X$ telle que ${}^tXB = 0$ . Il reste à prouver: $\det({}^tXXA)^2 \le \det({}^tXX)\det({}^tA{}^tXXA+{}^tBB)$ , soit: $\det({}^tA{}^tXXA) \le \det({}^tA{}^tXXA+{}^tBB)$ .

On pose $U={}^tA{}^tXXA$ et $V = {}^tBB$ : $U$ et $V$ sont des matrices réelles symétriques positives de même taille, à priori quelquonques. Si $U$ est inversible, on écrit $U={}^tPP$ avec $P$ inversible et on est rammené à prouver que $1\le\det(I+{}^tP^{-1}VP^{-1}) = \det(I+W)$ , avec $W$ symétrique positive, ce qui résulte du fait que toutes les valeurs propres de $I+W$ sont supérieures ou égales à $1$ . Si $U$ n’est pas inversible, on remplace $U$ par $U+\varepsilon I$ avec $\varepsilon >0$ , puis on fait tendre $\varepsilon$ vers $0^+$ .

Remarque: il y a peut-être plus simple?

exo7 3732