L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 5 questions

exo7 3672

Soit EE un espace vectoriel euclidien, et e⃗1,…,e⃗n\vec e_1,\dots,\vec e_n des vecteurs unitaires tels que : ∀ x⃗∈E,∥x⃗ ∥2=∑i=1n(x⃗∣e⃗i)2\forall\ \vec x \in E, \quad \|\vec x\,\|^2 = \sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec e_i)^2.

1

Démontrer que (e⃗1,…,e⃗n)(\vec e_1,\dots,\vec e_n) est une base orthonormale de EE.

2

On remplace l’hypothèse : e⃗i\vec e_i unitaire par : dim⁡E=n\dim E = n.

3

Démontrer que (e⃗1,…,e⃗n)(\vec e_1,\dots,\vec e_n) est une base de EE.

4

Démontrer que : ∀ x⃗,y⃗∈E, (x⃗∣y⃗)=∑i=1n(x⃗∣e⃗i)(y⃗∣e⃗i)\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ (\vec x \mid\vec y) = \sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec e_i)(\vec y\mid \vec e_i).

5

On note GG la matrice de Gram de e⃗1,…,e⃗n\vec e_1,\dots,\vec e_n. Démontrer que G2=GG^2 = G et conclure.

Exercice cpvo

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