Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, et \(\vec e_1,\dots,\vec e_n\) des vecteurs unitaires tels que : \(\forall\ \vec x \in E, \quad \|\vec x\,\|^2 = \sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec e_i)^2\).
1
Démontrer que \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) est une base orthonormale de \(E\).
2
On remplace l’hypothèse : \(\vec e_i\) unitaire par : \(\dim E = n\).
3
Démontrer que \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) est une base de \(E\).
4
Démontrer que : \(\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ (\vec x \mid\vec y) = \sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec e_i)(\vec y\mid \vec e_i)\).
5
On note \(G\) la matrice de Gram de \(\vec e_1,\dots,\vec e_n\). Démontrer que \(G^2 = G\) et conclure.