1 ère solution. Soit \(p\geqslant2\). Montrons que si la famille \((x_1,...,x_{p})\) est obtusangle alors la famille \((x_1,...,x_{p-1})\) est libre.

Soit \((x_1,...,x_{p})\) une famille obtusangle. Supposons que la famille \((x_1,...,x_{p-1})\) soit liée.

Il existe donc \((\lambda_1,...,\lambda_{p-1})\in\Rr^{p-1}\setminus\{(0,\ldots,0)\}\) tel que \(\sum_{k=1}^{p-1}\lambda_kx_k = 0\).

Quite à multiplier les deux membres de l’égalité par \(-1\), on peut supposer que l’un des \(\lambda_i\) au moins est strictement positif. On pose \(I =\{k\in\llbracket1,p-1\rrbracket/\;\lambda_k > 0\}\) et \(J =\{k\in\llbracket1,p-1\rrbracket/\;\lambda_k\leqslant 0\}\) (éventuellement \(J\) est vide).

Si \(J\) est vide, il reste \(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i = 0\) et si \(J\) est non vide,

\(\left\|\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right\|^2= -\left(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right)\left(\sum_{j\in J}^{}\lambda_jx_j\right)= -\sum_{(i,j)\in I\times J}^{}\lambda_i\lambda_j\left(x_i|x_j\right)\leqslant0\) (car \(\forall(i,j)\in I\times J\), \(\left(x_i|x_j\right)< 0\) et \(\lambda_i\lambda_j\leqslant0\)).

Ainsi, dans tous les cas, \(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i = 0\). Mais ceci est impossible car \(\left(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right)|x_{p}=\sum_{i\in I}^{}\lambda_i\left(x_i|x_{p}\right)< 0\).

On a montré que la famille \((x_1,\ldots,x_{p-1})\) est libre et on en déduit que \(p-1\leqslant n\) ou encore \(p\leqslant n+1\).

2ème solution. Montrons par récurrence sur \(n =\text{dim}E_n\geqslant1\) que tout famille obtusangle de \(E_n\) a un cardinal inférieur ou égal à \(n+1\).

Pour \(n = 1\). Soient \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\) trois vecteurs de \(E_1\). On peut identifier ces vecteurs à des réels. Deux des trois réels \(x_1\), \(x_2\) ou \(x_3\) ont même signe et on ne peut donc avoir \(x_1x_2 < 0\) et \(x_1x_3 < 0\) et \(x_2x_3 < 0\).

Une famille obtusangle de \(E_1\) a donc un cardinal inférieur ou égal à \(2\).

Soit \(n\geqslant1\). Supposons que toute famille obtusangle d’un espace euclidien de dimension \(n\) a un cardinal inférieur ou égal à \(n+1\). Soit \((x_1,...,x_p)\) une famille obtusangle de \(E_{n+1}\).

Si \(p = 1\) alors \(p\leqslant n+2\). Supposons dorénavant \(p\geqslant2\).

On va construire à partir de cette famille une famille obtusangle de cardinal \(p-1\) d’un espace euclidien de dimension \(n\).

Soit \(F=x_p^\bot\). Puisque la famille \((x_1,...,x_p)\) est obtusangle, le vecteur \(x_p\) n’est pas nul et \(F\) est un espace euclidien de dimension \(n\).

On note \(y_1\), \(y_2\),..., \(y_{p-1}\) les projetés orthogonaux des vecteurs \(x_1\), ... , \(x_{p-1}\) sur \(F\). On sait que

\(\forall i\in\llbracket1,p-1\rrbracket\), \(y_i =x_i -\frac{\left(x_i|x_p\right)}{\|x_p\|^2}x_p\).

Soit \((i,j)\in\llbracket1,p-1\rrbracket\) tel que \(i\neq j\).

\(\left(y_i|y_j\right)=\left(x_i|x_j\right)-2\frac{\left(x_i|x_p\right)\left(x_j|x_p\right)}{\|x_p\|^2}+\frac{\left(x_i|x_p\right)\left(x_j|x_p\right)\|x_p\|^2}{\|x_p\|^4}= \left(x_i|x_j\right)-\frac{\left(x_i|x_p\right)\left(x_j|x_p\right)}{\|x_p\|^2}< 0\).

Ainsi, la famille \((y_i)_{1\leqslant i\leqslant p-1}\) est une famille obtusangle d’un espace euclidien de dimension \(n\) et par hypothèse de récurrence \(p-1\leqslant n+1\) et donc \(p\leqslant n+2\). Le résultat est démontré par récurrence.

exo7 5788