Si $x$ est colinéaire à $k$ , $r(x)=x$ , et si $x\in k^\bot,\;r(x)=(\cos\theta)x+(\sin\theta)k\wedge x$ . Soit $x\in E$ . On écrit $x=x_1+x_2$ où $x_1\in k^\bot$ et $x_2\in\mbox{Vect}(k)$ . On a $x_2=(x.k)k$ (car $k$ est unitaire) et $x_1=x-(x.k)k$ . Par suite,

$\begin{align*}\ensuremath r(x)&=r(x_1)+r(x_2)=(\cos\theta)x_1+(\sin\theta)k\wedge x_1+x_2=(\cos\theta)(x-(x.k)k)+(\sin\theta)k\wedge x+(x.k)k\\ &=(\cos\theta)x+(1-\cos\theta)(x.k)k+sin\theta(k\wedge x)=(\cos\theta)x+2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)(x.k)k+sin\theta(k\wedge x) \end{align*}$ Application. Si $k=\frac{1}{\sqrt{2}}(e_1+e_2)$ et $\theta=\frac{\pi}{3}$ , pour tout vecteur $x$ , on a :

$r(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(x.k)k+\frac{\sqrt{3}}{2}(k\wedge x),$ puis, $r(e_1)=\frac{1}{2}e_1+\frac{1}{4}(e_1+e_2)-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}e_3=\frac{1}{4}(3e_1+e_2-\sqrt{6}e_3)$

$r(e_2)=\frac{1}{2}e_2+\frac{1}{4}(e_1+e_2)+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}e_3=\frac{1}{4}(e_1+3e_2+\sqrt{6}e_3)$

$r(e_3)=\frac{1}{2}e_3+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}(-e_2+e_1)=\frac{1}{4}(\sqrt{6}e_1-\sqrt{6}e_2+2e_3)$ .

La matrice cherchée est $\frac{1}{4}\left( \begin{array}{ccc} 3&1&\sqrt{6}\\ 1&3&-\sqrt{6}\\ -\sqrt{6}&\sqrt{6}&2 \end{array} \right)$ .

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