exo7 3686

On suppose $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ libre. Soit $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ la famille de Schmidt associée et $M$ la matrice de passage de $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ à $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$. Montrer que $M$ est à coefficients positifs.

Dans le cas général, démontrer par récurrence sur $n$ que $\mathrm{rg}(\vec u_1,\dots,\vec u_n) \ge n-1$.

Si $\mathrm{rg}(\vec u_1,\dots,\vec u_n) = n-1$, démontrer que toute famille de $n-1$ vecteurs extraite de $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ est libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives.