Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) une famille de vecteurs vérifiant : \(\forall\ i\ne j,\ (\vec u_i \mid \vec u_j) < 0\).
On suppose \((\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) libre. Soit \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) la famille de Schmidt associée et \(M\) la matrice de passage de \((\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) à \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\). Montrer que \(M\) est à coefficients positifs.
Dans le cas général, démontrer par récurrence sur \(n\) que \(\mathrm{rg}(\vec u_1,\dots,\vec u_n) \ge n-1\).
Si \(\mathrm{rg}(\vec u_1,\dots,\vec u_n) = n-1\), démontrer que toute famille de \(n-1\) vecteurs extraite de \((\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) est libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives.