L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé 3 questions

exo7 1511

Soit qq la forme quadratique de R3\Rr^3 de matrice A=(211111112)A= \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right) dans la base canonique B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3) de R3.\Rr^3.

1

Donner l’expression analytique de qq dans B\mathcal{B} et expliciter sa forme polaire ff.

2

Vérifier que B′=(e1,−12e1+e2,−e2+e3)\mathcal{B}^{^{\prime }}=(e_1,-\frac 12e_1+e_2,-e_2+e_3) est une base R3\Rr^3 et donner la matrice de qq dans cette base. Expliciter qq dans cette base.

3

Trouver le rang et la signature de qq.

Exercice eu7r

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