Soit \(q\) la forme quadratique de \(\Rr^3\) de matrice \(A= \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)\) dans la base canonique \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)\) de \(\Rr^3.\)
1
Donner l’expression analytique de \(q\) dans \(\mathcal{B}\) et expliciter sa forme polaire \(f\).
2
Vérifier que \(\mathcal{B}^{^{\prime }}=(e_1,-\frac 12e_1+e_2,-e_2+e_3)\) est une base \(\Rr^3\) et donner la matrice de \(q\) dans cette base. Expliciter \(q\) dans cette base.
3
Trouver le rang et la signature de \(q\).