L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 3706

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$ antisymétrique.

Montrer que $\mathrm{id}_E + f \in GL(E)$ .

Montrer que $g = (\mathrm{id} - f) \circ (\mathrm{id} + f)^{-1} \in {\cal O}^+(E)$ et $\mathrm{id}+g$ est inversible.

Réciproquement, soit $h \in {\cal O}^+(E)$ tq $\mathrm{id} + h$ soit inversible. Montrer qu’il existe $f$ antisymétrique tel que $h = (\mathrm{id} - f) \circ (\mathrm{id} + f)^{-1}$ .