exo7 3669

Démontrer que $F \oplus F^\perp = E$ et $F^{\perp\perp} = F$ (on utilisera la projection associée aux $\vec u_i$).

Soit $\vec x \in E$. Démontrer que $\sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec u_i)^2 \le \|\vec x\,\|^2$. Quand a-t-on égalité ?

Application : Soit $f : {[0,2\pi]} \to {\R}$ continue. On appelle coefficients de Fourier de $f$ les réels : $$c_k(f) = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\cos(kt)\,d t \qquad \text{et} \qquad s_k(f) = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\sin(kt)\,d t.$$

Démontrer l’inégalité de Bessel : $\int_{t=0}^{2\pi} f^2(t)\,d t \ge \frac {c_0(f)^2}{2\pi} + \sum_{k=1}^\infty \frac {c_k(f)^2 + s_k(f)^2}\pi$.