Soit \(E\) un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (de dimension éventuellement infinie) et \((\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) une famille orthonormée de \(E\). On note \(F = \text{vect}(\vec u_1,\dots,\vec u_n)\).
Démontrer que \(F \oplus F^\perp = E\) et \(F^{\perp\perp} = F\) (on utilisera la projection associée aux \(\vec u_i\)).
Soit \(\vec x \in E\). Démontrer que \(\sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec u_i)^2 \le \|\vec x\,\|^2\). Quand a-t-on égalité ?
Application : Soit \(f : {[0,2\pi]} \to {\R}\) continue. On appelle coefficients de Fourier de \(f\) les réels : \[c_k(f) = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\cos(kt)\,d t \qquad \text{et} \qquad s_k(f) = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\sin(kt)\,d t.\]
Démontrer l’inégalité de Bessel : \(\int_{t=0}^{2\pi} f^2(t)\,d t \ge \frac {c_0(f)^2}{2\pi} + \sum_{k=1}^\infty \frac {c_k(f)^2 + s_k(f)^2}\pi\).