Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.
Pour \(n\in\Nn^*\) et \((x_1, ... , x_n)\) dans \(E^n\), on pose \(G(x_1, ... , x_n) =\left(x_i | x_j\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) (matrice de Gram) puis \(\gamma(x_1, ... , x_n) = \text{det}(G(x_1 , ... , x_n))\) (déterminant de Gram).
Montrer que \(\text{rg}(G(x_1, ... , x_n)) =\text{rg}(x_1, ... ,x_n)\).
Montrer que la famille \((x_1, ... ,x_n)\) est liée si et seulement si \(\gamma(x_1, ... , x_n) = 0\) et que la famille \((x_1, ... , x_n)\) est libre si et seulement si \(\gamma(x_1, ... , x_n) > 0\).
On suppose que la famille \((x_1, ... , x_n)\) est libre dans \(E\). On pose \(F =\text{Vect} (x_1, ... , x_n)\). Pour \(x\in E\), on note \(p_F(x)\) la projection orthogonale de \(x\) sur \(F\) puis \(d(x,F)\) la distance de \(x\) à \(F\) (c’est-à-dire \(d(x,F) =\|x-p_F(x)\|^2\)). Montrer que \(d(x,F) =\sqrt{\frac{\gamma(x,x_1,\ldots,x_n)}{\gamma(x_1,\ldots,x_n)}}\).