L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 5780

Soit EE un espace préhilbertien réel.

Pour n∈N∗n\in\Nn^* et (x1,...,xn)(x_1, ... , x_n) dans EnE^n, on pose G(x1,...,xn)=(xi∣xj)1⩽i,j⩽nG(x_1, ... , x_n) =\left(x_i | x_j\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n} (matrice de Gram) puis γ(x1,...,xn)=det(G(x1,...,xn))\gamma(x_1, ... , x_n) = \text{det}(G(x_1 , ... , x_n)) (déterminant de Gram).

1

Montrer que rg(G(x1,...,xn))=rg(x1,...,xn)\text{rg}(G(x_1, ... , x_n)) =\text{rg}(x_1, ... ,x_n).

2

Montrer que la famille (x1,...,xn)(x_1, ... ,x_n) est liée si et seulement si γ(x1,...,xn)=0\gamma(x_1, ... , x_n) = 0 et que la famille (x1,...,xn)(x_1, ... , x_n) est libre si et seulement si γ(x1,...,xn)>0\gamma(x_1, ... , x_n) > 0.

3

On suppose que la famille (x1,...,xn)(x_1, ... , x_n) est libre dans EE. On pose F=Vect(x1,...,xn)F =\text{Vect} (x_1, ... , x_n). Pour x∈Ex\in E, on note pF(x)p_F(x) la projection orthogonale de xx sur FF puis d(x,F)d(x,F) la distance de xx à FF (c’est-à-dire d(x,F)=∥x−pF(x)∥2d(x,F) =\|x-p_F(x)\|^2). Montrer que d(x,F)=γ(x,x1,…,xn)γ(x1,…,xn)d(x,F) =\sqrt{\frac{\gamma(x,x_1,\ldots,x_n)}{\gamma(x_1,\ldots,x_n)}}.

Exercice MEDr

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