Soient \(f_1\), \(f_2\),..., \(f_n\) \(n\) fonctions continues sur \([a,b]\) à valeurs dans \(\Rr\). Pour \((i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), on pose \(b_{i,j}=\int_{a}^{b}f_i(t)f_j(t)\;dt\) puis pour \((x_1,...x_n)\in\Rr^n\), \(Q((x_1,...,x_n)) =\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}b_{i,j}x_ix_j\).
1
Montrer que \(Q\) est une forme quadratique positive.
2
Montrer que \(Q\) est définie positive si et seulement si la famille \((f_1,...,f_n)\) est libre.
3
Ecrire la matrice de \(Q\) dans la base canonique de \(\Rr^n\) dans le cas particulier : \(\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(\forall t\in[a,b]\), \(f_i(t)=t^{i-1}\).