L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 3733

Soit EE un espace euclidien de dimension nn. Soit f:E→Ef : E \to E une application non nécéssairement linéaire.

1

On suppose que ff conserve le produit scalaire. Démontrer que ff est linéaire.

2

On suppose que ff conserve les distances, c’est à dire : ∀ x⃗,y⃗∈E, ∥f(x⃗)−f(y⃗)∥=∥x⃗−y⃗ ∥\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ \| f(\vec x) - f(\vec y) \| = \|\vec x - \vec y\,\|. Démontrer que f=f(0⃗)+gf = f(\vec0) + g, avec g∈O(E)g \in {\cal O}(E).

Exercice p59L

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