1
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, \(P\), et une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, \(T\), uniques telles que \(M = PT\).
2
Application : inégalité de Hadamard. Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base orthonormée, et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) des vecteurs quelconques.
Démontrer que \(|\det_{(\vec e_i)}(\vec u_j)| \le \prod_j \|\vec u_j\|\). Étudier les cas d’égalité.