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Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, $P$, et une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, $T$, uniques telles que $M = PT$.

Application : inégalité de Hadamard. Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ une base orthonormée, et $\vec u_1,\dots,\vec u_n$ des vecteurs quelconques.

Démontrer que $|\det_{(\vec e_i)}(\vec u_j)| \le \prod_j \|\vec u_j\|$. Étudier les cas d’égalité.