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Dans $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d’équation $x+y+z=0$ de $(1,0,0)$, et plus généralement d’un vecteur $(x,y,z)$ quelconque.

Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.

Dans un espace euclidien de dimension $n$, on considère un sous-espace $F$ de dimension $r$ et $(f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$, c’est à dire la projection sur $F$ associée à la décomposition $E=F\oplus F^{\bot}$. Montrer que : $$\forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=<v,f_{1}>f_{1} +<v,f_{2}>f_{2} +\cdots +<v,f_{r}>f_{r}$$