Dans \(\R^{3}\) muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d’équation \(x+y+z=0\) de \((1,0,0)\), et plus généralement d’un vecteur \((x,y,z)\) quelconque.
Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.
Dans un espace euclidien de dimension \(n\), on considère un sous-espace \(F\) de dimension \(r\) et \((f_{1},...,f_{r})\) une base de orthonormée de cet espace. On not \(p_{F}\) la projection orthogonale sur \(F\), c’est à dire la projection sur \(F\) associée à la décomposition \(E=F\oplus F^{\bot}\). Montrer que : \[\forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=<v,f_{1}>f_{1} +<v,f_{2}>f_{2} +\cdots +<v,f_{r}>f_{r}\]