Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(p\) sur \(\Rr\) (\(p\geq2\)). Pour \((x_1,...,x_n)\) donné dans \(E^n\), on pose \(G(x_1,...,x_n)=(x_i|x_j)_{1\leq i,j\leq n}\) (matrice de Gram) et \(\gamma(x_1,...,x_n)=\mbox{det}(G(x_1 , ... , x_n))\) (déterminant de Gram).
Montrer que \(\mbox{rg}(G(x_1,...,x_n))=\mbox{rg}(x_1, ... ,x_n)\).
Montrer que \((x_1,...,x_n)\) est liée si et seulement si \(\gamma(x_1,...,x_n)=0\) et que \((x_1,...,x_n)\) est libre si et seulement si \(\gamma(x_1,...,x_n)>0\).
On suppose que \((x_1,...,x_n)\) est libre dans \(E\) (et donc \(n\leq p\)). On pose \(F=\mbox{Vect}(x_1,...,x_n)\).
Pour \(x\in E\), on note \(p_F(x)\) la projection orthogonale de \(x\) sur \(F\) puis \(d_F(x)\) la distance de \(x\) à \(F\) (c’est-à-dire \(d_F(x)=||x-p_F(x)||\)). Montrer que \(d_F(x)=\sqrt{\frac{\gamma(x,x_1,...,x_n)}{\gamma(x_1,...,x_n)}}\).