exo7 5486

Montrer que $\mbox{rg}(G(x_1,...,x_n))=\mbox{rg}(x_1, ... ,x_n)$.

Montrer que $(x_1,...,x_n)$ est liée si et seulement si $\gamma(x_1,...,x_n)=0$ et que $(x_1,...,x_n)$ est libre si et seulement si $\gamma(x_1,...,x_n)>0$.

On suppose que $(x_1,...,x_n)$ est libre dans $E$ (et donc $n\leq p$). On pose $F=\mbox{Vect}(x_1,...,x_n)$.

Pour $x\in E$, on note $p_F(x)$ la projection orthogonale de $x$ sur $F$ puis $d_F(x)$ la distance de $x$ à $F$ (c’est-à-dire $d_F(x)=||x-p_F(x)||$). Montrer que $d_F(x)=\sqrt{\frac{\gamma(x,x_1,...,x_n)}{\gamma(x_1,...,x_n)}}$.