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Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de $\mathbb{R}$.

Notations $\int_a^b f$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
Intégrale convergente (resp. divergente) en $b$, en $a$.

Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :
$\displaystyle \int_a^b f(t)g'(t)\,\mathrm{d}t = \bigl[fg\bigr]_a^b - \int_a^b f'(t)g(t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration n’est pas exigible.
L’existence des limites finies du produit $fg$ aux bornes de l’intervalle assure que les intégrales de $fg'$ et $f'g$ sont de même nature.
Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

Changement de variable : étant données une fonction $f$ continue sur $]a,b[$ et une fonction $\varphi : ]\alpha,\beta[ \to ]a,b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\mathscr{C}^1$, les intégrales $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(u)\bigr)\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ sont de même nature et égales en cas de convergence.

La démonstration n’est pas exigible.
Adaptation au cas où $\varphi$ est strictement décroissante.
On applique ce résultat sans vérifier les hypothèses dans les cas de changements de variable usuels.