\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : \[\exists \mu \in {\Rr}^{+},\forall d=\{a=x_{0},x_{1},...,x_{n}=b\}\text{ subdivision de }[a,b],\sum\limits_{i=1}^{n}\left| f(x_{i})-f(x_{i-1})\right| =\sigma (d)\leq \mu .\] On appelle alors \(V(a,b)=\sup\limits_{d \text{ subdivision}}\sigma (d)\) et on définit une fonction de \([a,b]\) dans \({\Rr}^{+}:x\rightarrow V(a,x).\)
Montrer que toute fonction monotone est à variation bornée puis que \(x\rightarrow V(a,x)\) est croissante ainsi que \(x\rightarrow V(a,x)-f(x).\) En déduire que toute fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions croissantes (d’où la nature de ses discontinuités). Une fonction continue, une fonction lipschitzienne sont-elles à variation bornée ?