1
Pour tout élément \(a\) d’un groupe fini \(G\) d’ordre \(n\), on définit l’application \[\begin{array}{ccccc} l_a&:&G&\to & G\\ & &g&\mapsto &ag \end{array}\] Montrer que \(l_a\) est une bijection de \(G\), produit de \(\frac{n}{ordre (a)}\) cycles à support disjoints tous de longueur \(ordre (a)\).
2
Montrer alors que l’application \[\begin{array}{ccccc} l&:&G&\to & \S(G)\\ & &a&\mapsto &l_a \end{array}\] est un morphisme de groupes, injectif. Tout groupe fini est donc isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de ses éléments.