exo7 2180

a) Montrer qu’un groupe $G$ vérifiant $$\forall a,b \in G \quad a^2b^2=(ab)^2$$ est commutatif.

(b) Le but de cette question est de donner un exemple de groupe $G$ vérifiant la propriété $$\forall a,b\in G \quad a^3b^3=(ab)^3$$ et qui n’est pas commutatif.

(i) montrer qu’il existe un automorphisme $\sigma$ de $\mathbb{F}_3^2$ d’ordre $3$.

(ii) montrer que le groupe $G$ défini comme le produit semi-direct de $\mathbb{F}_3^2$ par $\Z_3$, $\Z_3$ agissant sur $\mathbb{F}_3^2$ via $\sigma$ répond à la question.