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a) Montrer qu’un groupe \(G\) vérifiant \[\forall a,b \in G \quad a^2b^2=(ab)^2\] est commutatif.
(b) Le but de cette question est de donner un exemple de groupe \(G\) vérifiant la propriété \[\forall a,b\in G \quad a^3b^3=(ab)^3\] et qui n’est pas commutatif.
(i) montrer qu’il existe un automorphisme \(\sigma\) de \(\mathbb{F}_3^2\) d’ordre \(3\).
(ii) montrer que le groupe \(G\) défini comme le produit semi-direct de \(\mathbb{F}_3^2\) par \(\Z_3\), \(\Z_3\) agissant sur \(\mathbb{F}_3^2\) via \(\sigma\) répond à la question.