On se ramène à la situation où le polygone est inscrit dans le plan complexe et a pour sommets les racines de l’unité $e^{2ik\pi/n}, k=0,1,\ldots,n-1$ . Une isométrie laissant invariant le polygone fixe nécessairement l’origine. Elle est donc de la forme $z\rightarrow az$ ou $z\rightarrow a \overline z$ avec $|a|=1$ . On voit ensuite que $a$ est nécessairement une racine $n$ -ième de $1$ . Notons $\sigma$ l’isométrie $z\rightarrow e^{2i\pi/n} z$ et $\tau$ la conjugaison complexe. On a $D_n=\{\sigma^k \tau^\varepsilon \hskip 2pt | \hskip 2pt k=0,\ldots,n-1, \varepsilon = \pm 1\}$ . On vérifie que $\sigma$ et $\tau$ engendrent le groupe $D_n$ et satisfont les relations $\sigma^n=1$ , $\tau^2=1$ et $\tau \sigma \tau^{-1}= \sigma^{-1}$ . Autrement dit, $D_n$ est isomorphe au groupe diédral d’ordre $2n$ . Si $n$ est impair, son centre est trivial et si $n=2m$ est pair, son centre est $\{1,\sigma^m\}$ . Le groupe $D_n$ se plonge naturellement dans $S_n$ ; comme $|D_3|=|S_3|=6$ , ce plongement est un isomorphisme pour $n=3$ .

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