On se ramène à la situation où le polygone est inscrit dans le plan complexe et a pour sommets les racines de l’unité \(e^{2ik\pi/n}, k=0,1,\ldots,n-1\). Une isométrie laissant invariant le polygone fixe nécessairement l’origine. Elle est donc de la forme \(z\rightarrow az\) ou \(z\rightarrow a \overline z\) avec \(|a|=1\). On voit ensuite que \(a\) est nécessairement une racine \(n\)-ième de \(1\). Notons \(\sigma\) l’isométrie \(z\rightarrow e^{2i\pi/n} z\) et \(\tau\) la conjugaison complexe. On a \(D_n=\{\sigma^k \tau^\varepsilon \hskip 2pt | \hskip 2pt k=0,\ldots,n-1, \varepsilon = \pm 1\}\). On vérifie que \(\sigma\) et \(\tau\) engendrent le groupe \(D_n\) et satisfont les relations \(\sigma^n=1\), \(\tau^2=1\) et \(\tau \sigma \tau^{-1}= \sigma^{-1}\). Autrement dit, \(D_n\) est isomorphe au groupe diédral d’ordre \(2n\). Si \(n\) est impair, son centre est trivial et si \(n=2m\) est pair, son centre est \(\{1,\sigma^m\}\). Le groupe \(D_n\) se plonge naturellement dans \(S_n\); comme \(|D_3|=|S_3|=6\), ce plongement est un isomorphisme pour \(n=3\).

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