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Soit $G$ un groupe fini et $X$ un $G$-ensemble transitif. On dira que $X$ est imprimitif si $X$ admet une partition $X=\bigcup _{1\leq i\leq r} X_i$ telle que tout élément $g$ de $G$ respecte cette partition, i.e. envoie un sous-ensemble $X_i$ sur un sous-ensemble $X_k$ (éventuellement $k=i$) et telle que $2\leq r$ et les parties $X_i$ ne sont pas réduites à un élément. Dans le cas contraire on dit que $X$ est primitif.

(a) Montrer que dans la décomposition précédente, si elle existe, tous les sous-ensembles $X_i$ ont même nombre $m$ d’éléments.

(b) Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $G/H$ est imprimitif si et seulement s’il existe un sous-groupe propre $K$ de $G$ différent de $H$ tel que $H\subset K \subset G$ (on regardera la partition de $G/H$ en classes modulo $K$).

(c) Déduire de ce qui précède que $X$ est primitif si et seulement si le fixateur d’un élément $x$ de $X$ est maximal parmi les sous-groupes propres de $G$.

(d) On suppose ici que $X$ est primitif et que $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ dont l’action n’est pas triviale sur $X$. Montrer qu’alors $H$ agit transitivement sur $X$.