Notons $G$ le groupe des isométries de l’espace euclidien de dimension $3$ laissant invariant l’ensemble $\{a_1,\ldots,a_4\}$ des $4$ sommets d’un tétraèdre régulier. Le fixateur $G(a_4)$ agit transitivement sur $\{a_1,a_2,a_3\}$ : en effet ce sous-groupe contient la rotation d’axe la droite joignant $a_4$ au centre de gravité du triangle de sommets $a_1,a_2,a_3$ , laquelle agit sur ces points comme un $3$ -cycle. D’après l’exercice [ex:deb86], le groupe $A_4$ agit $2$ -transitivement sur $\{a_1,\ldots,a_4\}$ . De plus $G(a_4)$ contient une isométrie agissant sur $\{a_1,\ldots,a_4\}$ comme une transposition, par exemple la symétrie par rapport au plan médiateur $P$ du segment $[a_1,a_2]$ , laquelle échange $a_1$ et $a_2$ et fixe $a_3$ et $a_4$ qui sont dans $P$ . D’après l’exercice [ex:deb85], on a $G\simeq S_4$ .

Notons $G_+$ le sous-groupe de $G$ constitué de ses isométries directes. Le groupe $G_+$ est le noyau du morphisme $\hbox{\rm det}: G_+ \rightarrow \{1,-1\}$ qui à tout $g\in G$ vu comme matrice associe son déterminant. Comme ce morphisme est surjectif (la rotation et la symétrie considérées ci-dessus sont respectivement directe et indirecte), $G_+$ est d’indice $2$ . D’où $G\simeq A_4$ puisque $A_4$ est le seul sous-groupe de $S_4$ d’indice $2$ (cf exercice [ex:deb75]).

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