Notons \(G\) le groupe des isométries de l’espace euclidien de dimension \(3\) laissant invariant l’ensemble \(\{a_1,\ldots,a_4\}\) des \(4\) sommets d’un tétraèdre régulier. Le fixateur \(G(a_4)\) agit transitivement sur \(\{a_1,a_2,a_3\}\): en effet ce sous-groupe contient la rotation d’axe la droite joignant \(a_4\) au centre de gravité du triangle de sommets \(a_1,a_2,a_3\), laquelle agit sur ces points comme un \(3\)-cycle. D’après l’exercice [ex:deb86], le groupe \(G\) agit \(2\)-transitivement sur \(\{a_1,\ldots,a_4\}\). De plus \(G(a_4)\) contient une isométrie agissant sur \(\{a_1,\ldots,a_4\}\) comme une transposition, par exemple la symétrie par rapport au plan médiateur \(P\) du segment \([a_1,a_2]\), laquelle échange \(a_1\) et \(a_2\) et fixe \(a_3\) et \(a_4\) qui sont dans \(P\). D’après l’exercice [ex:deb85], on a \(G\simeq S_4\).

Notons \(G_+\) le sous-groupe de \(G\) constitué de ses isométries directes. Le groupe \(G_+\) est le noyau du morphisme \(\hbox{\rm det}: G_+ \rightarrow \{1,-1\}\) qui à tout \(g\in G\) vu comme matrice associe son déterminant. Comme ce morphisme est surjectif (la rotation et la symétrie considérées ci-dessus sont respectivement directe et indirecte), \(G_+\) est d’indice \(2\). D’où \(G\simeq A_4\) puisque \(A_4\) est le seul sous-groupe de \(S_4\) d’indice \(2\) (cf exercice [ex:deb75]).

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