Soit $H$ un sous-groupe primitif de $S_n$ contenant une transposition. On peut supposer que $H$ contient la transposition $(1\hskip 2pt 2)$ . Le sous-groupe engendré par le fixateur $H(1)$ et $(1\hskip 2pt 2)$ contient strictement $H(1)$ . D’après l’exercice [ex:deb84] (question (c)), ce groupe est $H$ .

Considérons l’ensemble ${\cal O}$ réunion de l’orbite $H(1)\cdot 2$ de $2$ sous $H(1)$ et du singleton $\{1\}$ . Pour montrer que ${\cal O}$ est l’orbite de $2$ sous $H$ , il suffit de montrer que $2\in {\cal O}$ (ce qui est clair) et que ${\cal O}$ est stable sous l’action de $H$ , ou, ce qui est équivalent, stable sous l’action de $H(1)$ et de $(1\hskip 2pt 2)$ . L’élément $1$ est envoyé sur $1\in {\cal O}$ par les éléments de $H(1)$ et sur $2\in {\cal O}$ par $(1\hskip 2pt 2)$ . L’ensemble $H(1)\cdot 2$ est invariant sous l’action de $H(1)$ . Enfin, si $h\cdot 2$ désigne un élément quelconque de $H(1)\cdot 2$ , alors son image par la permutation $(1\hskip 2pt 2)$ est $2$ si $h\cdot 2=1$ , $1$ si $h\cdot 2=2$ et $h\cdot 2$ si $h\cdot 2\not=1,2$ ; dans tous les cas, l’image est dans ${\cal O}$ .

On a donc ${\cal O} = H\cdot 2 = H(1)\cdot 2 \cup \{1\}$ . L’action de $H$ étant transitive, cet ensemble est égal à $\{1,\ldots,n\}$ et donc $H(1)\cdot 2=\{2,\ldots,n\}$ (puisque $1\notin H(1)\cdot 2$ ). Cela montre que l’action de $H(1)$ sur $\{2,\ldots,n\}$ est transitive, et donc que $H$ agit transitivement sur $\{1,\ldots,n\}$ (exercice 21).

Pour $i,j$ entiers distincts entre $1$ et $n$ , choisissons alors $g\in G$ tel que $g(1)=i$ et $g(2)=j$ . On a $g (1\hskip 2pt 2) g^{-1} = (g(1)\hskip 2pt g(2)) = (i\hskip 2pt j)$ . Cela montre que $H$ contient toutes les transpositions. Conclusion: $H=S_n$ .

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