Soit \(H\) un sous-groupe primitif de \(S_n\) contenant une transposition. On peut supposer que \(H\) contient la transposition \((1\hskip 2pt 2)\). Le sous-groupe engendré par le fixateur \(H(1)\) et \((1\hskip 2pt 2)\) contient strictement \(H(1)\). D’après l’exercice [ex:deb84] (question (c)), ce groupe est \(H\).

Considérons l’ensemble \({\cal O}\) réunion de l’orbite \(H(1)\cdot 2\) de \(2\) sous \(H(1)\) et du singleton \(\{1\}\). Pour montrer que \({\cal O}\) est l’orbite de \(2\) sous \(H\), il suffit de montrer que \(2\in {\cal O}\) (ce qui est clair) et que \({\cal O}\) est stable sous l’action de \(H\), ou, ce qui est équivalent, stable sous l’action de \(H(1)\) et de \((1\hskip 2pt 2)\). L’élément \(1\) est envoyé sur \(1\in {\cal O}\) par les éléments de \(H(1)\) et sur \(2\in {\cal O}\) par \((1\hskip 2pt 2)\). L’ensemble \(H(1)\cdot 2\) est invariant sous l’action de \(H(1)\). Enfin, si \(h\cdot 2\) désigne un élément quelconque de \(H(1)\cdot 2\), alors son image par la permutation \((1\hskip 2pt 2)\) est \(2\) si \(h\cdot 2=1\), \(1\) si \(h\cdot 2=2\) et \(h\cdot 2\) si \(h\cdot 2\not=1,2\); dans tous les cas, l’image est dans \({\cal O}\).

On a donc \({\cal O} = H\cdot 2 = H(1)\cdot 2 \cup \{1\}\). L’action de \(H\) étant transitive, cet ensemble est égal à \(\{1,\ldots,n\}\) et donc \(H(1)\cdot 2=\{2,\ldots,n\}\) (puisque \(1\notin H(1)\cdot 2\)). Cela montre que l’action de \(H(1)\) sur \(\{2,\ldots,n\}\) est transitive, et donc que \(H\) agit transitivement sur \(\{1,\ldots,n\}\) (exercice 21).

Pour \(i,j\) entiers distincts entre \(1\) et \(n\), choisissons alors \(g\in G\) tel que \(g(1)=i\) et \(g(2)=j\). On a \(g (1\hskip 2pt 2) g^{-1} = (g(1)\hskip 2pt g(2)) = (i\hskip 2pt j)\). Cela montre que \(H\) contient toutes les transpositions. Conclusion: \(H=S_n\).

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