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Soient $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe d’indice fini dans $G$. On définit sur $G$ la relation $xRy$ si et seulement si $x\in HyH$.

(a) Montrer que $R$ est une relation d’équivalence et que toute classe d’équivalence pour la relation $R$ est une union finie disjointe de classes à gauche modulo $H$.

Soit $HxH=\bigcup _{1\leq i\leq d(x)} x_i H$ la partition de la classe $HxH$ en classes à gauche distinctes.

(b) Soit $h\in H$ et $i$ un entier compris entre $1$ et $d(x)$; posons $h\hskip 2pt \ast \hskip 2pt x_iH= hx_iH$. Montrer que cette formule définit une action transitive de $H$ sur l’ensemble des classes $x_1H, \dots, x_{d(x)} H$ et que le fixateur de $x_i H$ dans cette action est $H\cap x_i Hx_i ^{-1}$. En déduire que

$$d(x)=[H:H\cap x Hx ^{-1}]$$

et qu’en particulier $d(x)$ divise l’ordre de $G$.

(c) Montrer que $H$ est distingué dans $G$ si et seulement si $d(x)=1$ pour tout $x\in G$.

(d) On suppose que $G$ est fini et que $[G:H]=p$, où $p$ est le plus petit nombre premier divisant l’ordre de $G$. Le but de cette question est de montrer que $H$ est distingué dans $G$.

(i) Montrer que pour tout $x\in G$ , $d(x)\leq p$. En déduire que $d(x)=1$ ou $d(x)=p$.

(ii) Montrer que si $H$ n’est pas distingué dans $G$, il existe une unique classe d’équivalence pour la relation $R$ et que $G=H$, ce qui contredit l’hypothèse $[G:H ]=p$.