[ex:deb83] (a) Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe. Montrer que la formule \[g. g'H=gg'H\] définit une action de \(G\) sur l’ensemble quotient \(G/H\). Déterminer le fixateur d’une classe \(gH\).
(b) Soit \(G\) un groupe et \(X\) et \(Y\) deux ensembles sur lesquels \(G\) agit (on parlera de \(G\)-ensembles). Soit \(f\) une application de \(X\) dans \(Y\). On dira que \(f\) est compatible à l’action de \(G\) (ou que \(f\) est un morphisme de \(G\)-ensembles) si pour tout élément \(x\) de \(X\) et tout \(g\) dans \(G\), \(f(g.x)=g.f(x)\). Montrer que si \(f\) est bijective et compatible à l’action de \(G\) il en est de même de \(f^{-1}\). On dira dans ce cas que \(f\) est un isomorphisme de \(G\)-ensembles.
(c) Soit \(G\) un groupe agissant transitivement sur un ensemble \(X\) (i.e. pour tout couple d’éléments \(x\) et \(y\) de \(X\) il existe au moins un élément \(g\) du groupe tel que \(g.x=y\)). Montrer qu’il existe un sous-groupe \(H\) de \(G\) tel que \(X\) soit isomorphe en tant que \(G\)-ensemble à \(G/H\) (on prendra pour \(H\) le fixateur d’un point quelconque de \(X\)).
(d) i) Soit \(H\) et \(K\) deux sous-groupes de \(G\). Montrer qu’il existe une application \(f\) de \(G/H\) vers \(G/K\) compatible avec l’action de \(G\) si et seulement si \(H\) est contenu dans un conjugué de \(K\). Montrer que dans ce cas \(f\) est surjective. Montrer que \(G/H\) et \(G/K\) sont isomorphes en tant que \(G\)-ensembles si et seulement si \(H\) et \(K\) sont conjugués dans \(G\).
ii) Soit \(X\) et \(Y\) deux \(G\)-ensembles transitifs. Montrer qu’il existe une application de \(X\) vers \(Y\) compatible avec l’action de \(G\) si et seulement si il existe deux éléments \(x\) et \(y\) de \(X\) et \(Y\) tels que le fixateur de \(x\) soit contenu dans un conjugué du fixateur de \(y\). Montrer que \(X\) et \(Y\) sont isomorphes si et seulement si les fixateurs de \(x\) et de \(y\) sont conjugués dans \(G\).