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(a) Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe. Montrer que la formule $$g. g'H=gg'H$$ définit une action de $G$ sur l’ensemble quotient $G/H$. Déterminer le fixateur d’une classe $gH$.

(b) Soit $G$ un groupe et $X$ et $Y$ deux ensembles sur lesquels $G$ agit (on parlera de $G$-ensembles). Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$. On dira que $f$ est compatible à l’action de $G$ (ou que $f$ est un morphisme de $G$-ensembles) si pour tout élément $x$ de $X$ et tout $g$ dans $G$, $f(g.x)=g.f(x)$. Montrer que si $f$ est bijective et compatible à l’action de $G$ il en est de même de $f^{-1}$. On dira dans ce cas que $f$ est un isomorphisme de $G$-ensembles.

(c) Soit $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble $X$ (i.e. pour tout couple d’éléments $x$ et $y$ de $X$ il existe au moins un élément $g$ du groupe tel que $g.x=y$). Montrer qu’il existe un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $X$ soit isomorphe en tant que $G$-ensemble à $G/H$ (on prendra pour $H$ le fixateur d’un point quelconque de $X$).

(d) i) Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. Montrer qu’il existe une application $f$ de $G/H$ vers $G/K$ compatible avec l’action de $G$ si et seulement si $H$ est contenu dans un conjugué de $K$. Montrer que dans ce cas $f$ est surjective. Montrer que $G/H$ et $G/K$ sont isomorphes en tant que $G$-ensembles si et seulement si $H$ et $K$ sont conjugués dans $G$.

ii) Soit $X$ et $Y$ deux $G$-ensembles transitifs. Montrer qu’il existe une application de $X$ vers $Y$ compatible avec l’action de $G$ si et seulement si il existe deux éléments $x$ et $y$ de $X$ et $Y$ tels que le fixateur de $x$ soit contenu dans un conjugué du fixateur de $y$. Montrer que $X$ et $Y$ sont isomorphes si et seulement si les fixateurs de $x$ et de $y$ sont conjugués dans $G$.