L’ensemble $H$ est le sous-groupe de $S_4$ fixant la paire $\{1,2\}$ . Tout élément de $H$ fixe aussi la paire $\{3,4\}$ . Cela fournit un morphisme $H\rightarrow S_2 \times S_2$ qui est clairement bijectif. D’où $H\simeq S_2 \times S_2 \simeq \Z/2\Z \times \Z/2\Z$ .

On a $\sigma\in K$ si et seulement si $\sigma(1) \equiv \sigma(3)\ [\hbox{\rm mod}\ 2]$ et $\sigma(2) \equiv \sigma(4)\ [\hbox{\rm mod}\ 2]$ , c’est-à-dire si et seulement si $\sigma(\{1,3\})$ est soit la paire $\{1,3\}$ soit la paire $\{2,4\}$ (auquel cas $\sigma(\{2,4\})$ est la paire $\{2,4\}$ ou la paire $\{1,3\}$ respectivement). Grâce à l’identité $\sigma \hskip 2pt(1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt(2\hskip 2pt 4)\hskip 2pt \sigma^{-1} = (\sigma(1)\hskip 2pt \sigma(3))\hskip 2pt(\sigma(2)\hskip 2pt \sigma(4))$ , on voit que la condition est également équivalente au fait que la conjugaison par $\sigma$ stabilise la permutation $(1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt(2\hskip 2pt 4)$ . Autrement dit $K$ est le sous-groupe des éléments de $S_4$ commutant avec $(1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt(2\hskip 2pt 4)$ . La classe de conjugaison 2-2 ayant $3$ éléments, le groupe $H$ est d’ordre $4!/3=8$ . On peut dresser la liste de ses éléments: si $\omega = (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt 3\hskip 2pt 4)$ et $\tau = (1\hskip 2pt 2)\hskip 2pt (3\hskip 2pt 4)$ , alors $K=\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\tau,\omega \tau, \omega^2 \tau, \omega^3\tau\}$ . On vérifie les relations $\sigma^4=1$ , $\tau^2=1$ et $\tau \sigma \tau^{-1}= \sigma^{-1}$ . Le groupe $K$ est égal au produit semi-direct de son sous-groupe distingué $<\omega>$ par son sous-groupe $<\tau>$ et est donc isomorphe au groupe diédral d’ordre $8$ .

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