L’ensemble \(H\) est le sous-groupe de \(S_4\) fixant la paire \(\{1,2\}\). Tout élément de \(H\) fixe aussi la paire \(\{3,4\}\). Cela fournit un morphisme \(H\rightarrow S_2 \times S_2\) qui est clairement bijectif. D’où \(H\simeq S_2 \times S_2 \simeq \Z/2\Z \times \Z/2\Z\).

On a \(\sigma\in K\) si et seulement si \(\sigma(1) \equiv \sigma(3)\ [\hbox{\rm mod}\ 2]\) et \(\sigma(2) \equiv \sigma(4)\ [\hbox{\rm mod}\ 2]\), c’est-à-dire si et seulement si \(\sigma(\{1,3\})\) est soit la paire \(\{1,3\}\) soit la paire \(\{2,4\}\) (auquel cas \(\sigma(\{2,4\})\) est la paire \(\{2,4\}\) ou la paire \(\{1,3\}\) respectivement). Grâce à l’identité \(\sigma \hskip 2pt(1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt(2\hskip 2pt 4)\hskip 2pt \sigma^{-1} = (\sigma(1)\hskip 2pt \sigma(3))\hskip 2pt(\sigma(2)\hskip 2pt \sigma(4))\), on voit que la condition est également équivalente au fait que la conjugaison par \(\sigma\) stabilise la permutation \((1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt(2\hskip 2pt 4)\). Autrement dit \(K\) est le sous-groupe des éléments de \(S_4\) commutant avec \((1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt(2\hskip 2pt 4)\). La classe de conjugaison 2-2 ayant \(3\) éléments, le groupe \(H\) est d’ordre \(4!/3=8\). On peut dresser la liste de ses éléments: si \(\omega = (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt 3\hskip 2pt 4)\) et \(\tau = (1\hskip 2pt 2)\hskip 2pt (3\hskip 2pt 4)\), alors \(K=\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\tau,\omega \tau, \omega^2 \tau, \omega^3\tau\}\). On vérifie les relations \(\sigma^4=1\), \(\tau^2=1\) et \(\tau \sigma \tau^{-1}= \sigma^{-1}\). Le groupe \(K\) est égal au produit semi-direct de son sous-groupe distingué \(<\omega>\) par son sous-groupe \(<\tau>\) et est donc isomorphe au groupe diédral d’ordre \(8\).

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