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Soit $G$ un groupe fini et $X$ un $G$-ensemble. Si $k$ est un entier ($1\leq k$), on dit que $X$ est $k$-transitif, si pour tout couple de $k$-uplets $(x_1, \dots ,x_k)$ et $(y_1, \dots , y_k)$ d’éléments de $X$ distincts deux à deux, il existe au moins un élément $g$ de $G$ tel que pour tout $i$, $1\leq i \leq k$, $g.x_i =y_i$. Un $G$-ensemble $1$-transitif est donc simplement un $G$-ensemble transitif.

(a) Montrer que si $X$ est $k$-transitif, il est aussi $l$-transitif pour tout $l$, $1\leq l \leq k$.

(b) Montrer que $X$ est $2$-transitif si et seulement si le fixateur d’un élément $x$ de $X$ agit transitivement sur $X\setminus\{x\}$.

(c) Montrer que si $X$ est imprimitif, il n’est pas $2$-transitif.

(d) Montrer qu’un groupe cyclique $C$ d’ordre premier considéré comme $C$-ensemble par l’action de translation de $C$ sur lui-même, est primitif mais n’est pas $2$-transitif.

(e) Montrer que l’ensemble $\{ 1, \dots ,n \}$ muni de l’action du groupe $S_n$ est $k$-transitif pour tout $k$, $1\leq k\leq n$. En déduire que l’ensemble $\{ 1, \dots ,n \}$ muni de l’action du groupe $S_n$ est primitif.

(f) Montrer que le fixateur de $1$ dans $S_n$ est isomorphe à $S_{n-1}$. Dans la suite on identifie $S_{n-1}$ à ce fixateur. Déduire de l’exercice 19 que $S_{n-1}$ est un sous-groupe propre maximal de $S_n$.