[ex:deb86] Soit \(G\) un groupe fini et \(X\) un \(G\)-ensemble. Si \(k\) est un entier (\(1\leq k\)), on dit que \(X\) est \(k\)-transitif, si pour tout couple de \(k\)-uplets \((x_1, \dots ,x_k)\) et \((y_1, \dots , y_k)\) d’éléments de \(X\) distincts deux à deux, il existe au moins un élément \(g\) de \(G\) tel que pour tout \(i\), \(1\leq i \leq k\), \(g.x_i =y_i\). Un \(G\)-ensemble \(1\)-transitif est donc simplement un \(G\)-ensemble transitif.
(a) Montrer que si \(X\) est \(k\)-transitif, il est aussi \(l\)-transitif pour tout \(l\), \(1\leq l \leq k\).
(b) Montrer que \(X\) est \(2\)-transitif si et seulement si le fixateur d’un élément \(x\) de \(X\) agit transitivement sur \(X\setminus\{x\}\).
(c) Montrer que si \(X\) est imprimitif, il n’est pas \(2\)-transitif.
(d) Montrer qu’un groupe cyclique \(C\) d’ordre premier considéré comme \(C\)-ensemble par l’action de translation de \(C\) sur lui-même, est primitif mais n’est pas \(2\)-transitif.
(e) Montrer que l’ensemble \(\{ 1, \dots ,n \}\) muni de l’action du groupe \(S_n\) est \(k\)-transitif pour tout \(k\), \(1\leq k\leq n\). En déduire que l’ensemble \(\{ 1, \dots ,n \}\) muni de l’action du groupe \(S_n\) est primitif.
(f) Montrer que le fixateur de \(1\) dans \(S_n\) est isomorphe à \(S_{n-1}\). Dans la suite on identifie \(S_{n-1}\) à ce fixateur. Déduire de l’exercice 19 que \(S_{n-1}\) est un sous-groupe propre maximal de \(S_n\).