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Etant donnés un groupe $G$ et un sous-groupe $H$, on définit le normalisateur $\textrm{Nor}_G(H)$ de $H$ dans $G$ comme l’ensemble des éléments $g\in G$ tels que $gHg^{-1} = H$.

(a) Montrer que $\textrm{Nor}_G(H)$ est le plus grand sous-groupe de $G$ contenant $H$ comme sous-groupe distingué.

(b) Montrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugués de $H$ dans $G$ est égal à l’indice $[G:\textrm{Nor}_G(H)]$ et qu’en particulier c’est un diviseur de l’ordre de $G$.