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Etant donnés un groupe \(G\) et un sous-groupe \(H\), on définit le normalisateur \(\textrm{Nor}_G(H)\) de \(H\) dans \(G\) comme l’ensemble des éléments \(g\in G\) tels que \(gHg^{-1} = H\).
(a) Montrer que \(\textrm{Nor}_G(H)\) est le plus grand sous-groupe de \(G\) contenant \(H\) comme sous-groupe distingué.
(b) Montrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugués de \(H\) dans \(G\) est égal à l’indice \([G:\textrm{Nor}_G(H)]\) et qu’en particulier c’est un diviseur de l’ordre de \(G\).