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Soit $K$ un corps fini à $q$ éléments, $GL(n,K)$ l’ensemble des matrices $(n,n)$ inversibles à coefficients dans $K$. Montrer par récurrence sur $n$ que $\vert GL(n,K)\vert= (q^n-1) (q^n-q)...(q^n-q^{n-1})$ en considérant l’action de $Aut(K^n)$ sur l’espace vectoriel $K^n$ (de base $\{v_1,...,v_n\}$), l’orbite et le stabilisateur d’un vecteur de base ($v_1$ par exemple).