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Soit \(K\) un corps fini à \(q\) éléments, \(GL(n,K)\) l’ensemble des matrices \((n,n)\) inversibles à coefficients dans \(K\). Montrer par récurrence sur \(n\) que \(\vert GL(n,K)\vert= (q^n-1) (q^n-q)...(q^n-q^{n-1})\) en considérant l’action de \(Aut(K^n)\) sur l’espace vectoriel \(K^n\) (de base \(\{v_1,...,v_n\}\)), l’orbite et le stabilisateur d’un vecteur de base (\(v_1\) par exemple).