(a) On vérifie les deux formules: $(a \hskip 2pt b) (b\hskip 2pt c) = (a\hskip 2pt b\hskip 2pt c)$ pour $a,b,c$ distincts, et $(a \hskip 2pt b) (c\hskip 2pt d) = (a \hskip 2pt b) (b\hskip 2pt c) (b \hskip 2pt c) (c\hskip 2pt d)= (a\hskip 2pt b\hskip 2pt c)(b\hskip 2pt c\hskip 2pt d)$ , pour $a,b,c,d$ distincts. On déduit que toute permutation paire, produit d’un nombre pair de transpositions, peut s’écrire comme produit de $3$ -cycles. Le groupe alterné $A_n$ est donc engendré par les $3$ -cycles si $n\geq 3$ .

(b) On a $(1 \hskip 2pt 2\hskip 2pt j)\hskip 2pt (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt i)\hskip 2pt (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt j)^{-1}=(2\hskip 2pt j\hskip 2pt i)$ pour $i,j$ distincts et différents de $1$ et $2$ , et si en plus $k$ est différent de $1,2,i,j$ , on a $(1 \hskip 2pt 2\hskip 2pt k)\hskip 2pt (2\hskip 2pt j\hskip 2pt i)\hskip 2pt (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt k)^{-1}=(k\hskip 2pt j\hskip 2pt i)$ . Le groupe engendré par les $3$ -cycles $(1\hskip 2pt 2\hskip 2pt i)$ où $i\geq 3$ contient donc tous les $3$ -cycles; d’après (a), c’est le groupe alterné $A_n$ .

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