(a) On vérifie les deux formules: \((a \hskip 2pt b) (b\hskip 2pt c) = (a\hskip 2pt b\hskip 2pt c)\) pour \(a,b,c\) distincts, et \((a \hskip 2pt b) (c\hskip 2pt d) = (a \hskip 2pt b) (b\hskip 2pt c) (b \hskip 2pt c) (c\hskip 2pt d)= (a\hskip 2pt b\hskip 2pt c)(b\hskip 2pt c\hskip 2pt d)\), pour \(a,b,c,d\) distincts. On déduit que toute permutation paire, produit d’un nombre pair de transpositions, peut s’écrire comme produit de \(3\)-cycles. Le groupe alterné \(A_n\) est donc engendré par les \(3\)-cycles si \(n\geq 3\).

(b) On a \((1 \hskip 2pt 2\hskip 2pt j)\hskip 2pt (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt i)\hskip 2pt (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt j)^{-1}=(2\hskip 2pt j\hskip 2pt i)\) pour \(i,j\) distincts et différents de \(1\) et \(2\), et si en plus \(k\) est différent de \(1,2,i,j\), on a \((1 \hskip 2pt 2\hskip 2pt k)\hskip 2pt (2\hskip 2pt j\hskip 2pt i)\hskip 2pt (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt k)^{-1}=(k\hskip 2pt j\hskip 2pt i)\). Le groupe engendré par les \(3\)-cycles \((1\hskip 2pt 2\hskip 2pt i)\) où \(i\geq 3\) contient donc tous les \(3\)-cycles; d’après (a), c’est le groupe alterné \(A_n\).

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